Αυτός ο γρίφος ανήκει στην κατηγορία δύσκολοι γρίφοι. Ένας πολύ σοφός και ξακουστός μάγος έχοντας αποφασίσει ότι ήρθε ο καιρός να αποσυρθεί και να τον διαδεχτούν, έθεσε στους 3 μαθητευόμενους μάγους του, το εξής πρόβλημα :
Έχουμε 12 όμοιες λίρες από τις οποίες η μία είναι κάλπικη. Επίσης δεν γνωρίζουμε αν η κάλπικη ζυγίζει περισσότερο ή λιγότερο από την αληθινή λίρα. Έχουμε στη διάθεση μας μια ζυγαριά η οποία απλά συγκρίνει δύο βάρη μεταξύ τους. (Δεν έχει ενδείξεις βάρους).
Πως θα μπορέσουμε με 3 μόνο ζυγίσματα να βρούμε την κάλπικη λίρα;
...και υποσχέθηκε σε όποιον έβρισκε την λύση, ότι θα ήταν άξιος πλέον να τον διαδεχθεί....
ΧΩΡΙΖΟΥΜΕ ΤΙΣ ΜΠΑΛΕΣ ΣΕ 3 ΟΜΑΔΕΣ Α,Β,Γ ΜΕ 4 ΜΠΑΛΕΣ Η ΚΑΘΕ ΜΙΑ. ΠΡΩΤΟ ΖΥΓΙΣΜΑ ΤΙΣ 4Α ΜΕ ΤΙΣ 4Β. ΕΣΤΩ 4A = 4B => Η ΚΑΛΠΙΚΗ ΕΙΝΑΙ ΣΤΗΝ Γ. ΔΕΥΤΕΡΟ ΖΥΓΙΣΜΑ 3Γ ΜΕ 3Α. ΕΣΤΩ 3Γ = 3Α => Η Γ ΠΟΥ ΕΜΕΙΝΕ ΕΙΝΑΙ Η ΚΑΛΠΙΚΗ ΚΑΙ ΜΕ ΜΕΤΡΟ ΜΙΑ ΠΟΥ ΕΙΝΑΙ ΗΔΗ ΠΑΝΩ ΣΤΟΝ ΖΥΓΟ ΤΗΝ ΖΥΓΙΖΩ (ΤΡΙΤΟ ΖΥΓΙΣΜΑ) ΚΑΙ ΞΕΡΩ ΑΝ ΕΙΝΑΙ ΕΛΑΦΡΥΤΕΡΗ Η ΒΑΡΥΤΕΡΗ. ΑΝ ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ 3Γ = 3Α =>
ΑπάντησηΔιαγραφή3Γ ΕΣΤΩ ΕΛΑΦΡΥΤΕΡΗ => ΜΙΑ ΑΠΟ ΑΥΤΕΣ ΚΑΛΠΙΚΗ. ΧΩΡΙΖΩ ΤΙΣ 3Γ ΣΕ Χ, Ψ, Ζ. ΤΡΙΤΟ ΖΥΓΙΣΜΑ Χ ΜΕ Ψ. ΕΣΤΩ Χ = Ψ => Ζ ΚΑΛΠΙΚΗ ΚΑΙ ΒΑΣΗ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΟΥ ΖΥΓΙΣΜΑΤΟΣ ΕΛΑΦΡΥΤΕΡΗ. ΑΝ Χ =/ Ψ ΤΟΤΕ ΚΑΛΠΙΚΗ Η ΕΛΑΦΡΥΤΕΡΗ ΤΩΝ ΔΥΟ. ΑΝ ΟΜΩΣ ΕΞΑΡΧΗΣ Ο ΖΥΓΟΣ ΕΔΕΙΧΝΕ 4Α =/ 4Β ΤΟΤΕ Η ΚΑΛΠΙΚΗ ΕΙΝΑΙ ΑΠΟ ΑΥΤΕΣ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΖΥΓΙΣΜΑ ΚΑΙ Η ΟΜΑΔΑ 4Γ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ. ΠΡΟΣΟΧΗ ΤΩΡΑ, ΦΤΑΣΑΜΕ ΣΤΟ ΤΕΛΟΣ, ΜΗΝ ΧΑΘΕΙΤΕ. ΑΦΑΙΡΩ ΑΠΟ ΚΑΘΕ ΠΛΕΥΡΑ, ΔΥΟ ΜΠΑΛΕΣ, 2Α ΚΑΙ 2Β. ΕΣΤΩ 2Α = 2Β => Η ΚΑΛΠΙΚΗ ΒΡΙΣΚΕΤΑΙ ΣΤΙΣ ΕΚΤΟΣ ΖΥΓΟΥ 2Α Η 2Β. ΠΑΙΡΝΩ ΤΙΣ 2Α ΣΤΗΝ ΜΙΑ ΠΛΕΥΡΑ ΚΑΙ ΤΙΣ ΖΥΓΙΖΩ ΜΕ 1Β ΚΑΙ 1Γ.
Φίλε από της 8 Μαΐου 2013. Νομίζω καταλαβαίνω ποια ζυγίσματα κάνεις, αλλά δεν καταλαβαίνω πως θα βρεις την κάλπικη στην τελευταία περίπτωση (όταν 4Α =/ 4Β και 2Α = 2Β). Δηλαδή μέχρι το τρίτο ζύγισμα έχεις τέσσερις πιθανές λίρες για την κάλπικη και δεν ξέρεις αν η κάλπικη είναι βαρύτερη ή ελαφρύτερη.
ΑπάντησηΔιαγραφήΠάντως ωραία έλυσες την περίπτωση 4Α =4Β. Την είχα λύσει και εγώ, αλλά στο τέλος δεν ήταν σίγουρο οτι θα ήξερα αν η κάλπικη είναι βαρύτερη ή ελαφρύτερη.
Για την περίπτωση 4Α =/ 4Β είχα σκεφτεί το εξής: Έστω 4Α < 4Β, είναι σίγουρο ότι η κάλπικη είναι πάνω στη ζυγαριά. Τώρα θέλει προσοχή. Θα βγάλω στην άκρη δύο από τις 4Α, από τις 2 που άφησα στην ζυγαριά την μια την πάω στο άλλο σκέλος της ζυγαριάς και από τις 4Β διαλέγω 2 και τις πάω στο άλλο σκέλος. Έτσι είναι η ζυγαριά στο δεύτερο ζύγισμα. Αν η ζυγαριά ισορροπεί, η κάλπικη είναι μια από τις 2Α που άφησα στην άκρη και ξέρουμε ότι θα είναι ελαφρύτερη. Αν η ζυγαριά δεν ισορροπεί θα προσέξω πώς κλίνει η ζυγαριά και θα το συγκρίνω με το προηγούμενο ζύγισμα. Προφανώς αν μία λίρα βρίσκεται στο ένα ζύγισμα στο βαρύτερο σκέλος και στο άλλο ζύγισμα στο ελαφρύτερο, τότε η λίρα αυτή σίγουρα Δεν είναι κάλπικη. Σε κάθε περίπτωση αποκλείονται όλες οι υπόλοιπες λίρες εκτός από τρεις: δύο από τις Β και μια Α. Αν είναι κάποια από τις Β, τότε θα είναι βαρύτερη. Στο τρίτο ζύγισμα θα συγκρίνω τις δύο Β μεταξύ τους. Αν η μία είναι βαρύτερη της άλλης, η βαρύτερη είναι η κάλπικη, αν είναι ίσες, τότε η κάλπικη είναι η Α που δεν είχαμε αποκλείσει και είναι ελαφρύτερη.
Με αυτό το τρόπο και βρίσκουμε ποία είναι η κάλπικη και αν είναι βαρύτερη ή ελαφρύτερη (το τελευταίο δεν το ζητάει ο γρίφος)
Ο κάθε μαθητής θα πάρει από 4 λίρες.Οι δύο θα ζυγίσουν και με την πρώτη θα βρουν πως έχουν 4 αληθινές λίρες ο καθένας.Ο τρίτος θα έχει 3 αληθινές και 1 κάλπικη.Με τα τρία ζυγίσματα που έχει στη διάθεσή του μπορεί άνετα να βρει ποια είναι η κάλπικη.Θα έχει αδικηθεί σε σχέση με τις λίρες ομως θα διαδεχθεί το σοφό δάσκαλό του.
ΑπάντησηΔιαγραφήΕκανα λάθος στη προηγούμενη απάντησή μου για τη μοιρασιά των λιρών.Αυτός που θα διαδεχθεί το σοφό δάσκαλο θα είναι αυτός που θα πει πως οι λίρες θα πρεπει να μοιραστουν στα τρία.Γιατί τελικά το θέμα είναι με κάποιο τρόπο να βρεθεί η κάλπικη και όχι ποιός θα την έχει.
Διαγραφήβαζουμε στη σειρα ολες τις λιρες και ονομαζουμε την καθεμια με εναν αριθμο απο το 1 μεχρι το 12
ΑπάντησηΔιαγραφήκαι τις χωριζουμε σε 3 ομαδες των 4 λιρων επειτα την ομαδα 1234 στην μια πλευρα και την 5678
και ΣΕΝΑΡΙΟ Ά: αν η ζυγαρια ισορροπει τοτε η λιρα ειναι σιγουρα στην ομαδα 9,10,11,12 και τοτε
τις χωριζουμε σε 9,10-11,12 τοτε σιγουρα η μια ομαδα θα ειναι βαρυτερη απο την τοτε και χωρις να παρω ΟΛΕΣ τις λιρες απο τη ζυγαρια παιρνω την 9 κ την 11 λιρα και τοτε αν 10=12 τοτε η καλπικη ειναι ή 9 η 11 οποτε τις βαζουμε παλι πανω στην ζυγαρια(τριτο ζυγυσμα)και τοτε σιγουρα ή 9<11 ή 9>11 τοτε ας πουμε οτι η καλπικη ειναι η 11 τοτε απο την ζυγαρια την 11 και θα αφησουμε την 9 (οποτε δεν θεωρειται αλλη μετρηση)και θα βαλουμε μια απο τις κανονικες λιρες ας πουμε την 8 και αν τοτε 8=9 τοτε η καλπικη ειναι η 11 που βγαλαμε εξω αν ομως δεν ισορροπησουν τοτε πρεπει να παρατηρησουμε προς τα που γερνει η ζυγαρια γιατι αν στην ζυγηση 9-11 η 9 ηταν βαρυτερη και τωρα ειναι παλι βαρυτερη τοτε ειναι η καλπικη αν ομως ειναι ελαφρυτερη τοτε η καλπικη ειναι η αλλη που αφησαμε
ρε παιδια δεν νομιζετε οτι πρεπει να δημοσιευσετε τη λυση επιτελους
ΑπάντησηΔιαγραφήΘΑ ΒΟΗΘΗΣΩ ΔΙΝΟΝΤΑΣ ΚΑΠΟΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ :
ΑπάντησηΔιαγραφήΧωρίζονται σε 3 τετράδες.
α) Ζυγίζουμε τις 2 πρώτες και αν ισορροπούν νομίζω η συνέχεια είναι εύκολη (απαντήθηκε παραπάνω)
β) αν δεν ισορροπήσουν οι δυο πρώτες έχουμε ένα στοιχείο - ΟΤΙ ΑΝ είναι στην πλευρά που γέρνει προς τα κάτω η κάλπικη είναι βαρύτερη, αν είναι από την άλλη πλευρά είναι ελαφρύτερη. Βοήθησα αρκετά;
Κανετε λαθως η σωστη απαντηση ειναι σηγουρα οτι:
ΑπάντησηΔιαγραφήΠαίρνουμε τις λίρες 1-4 και 5-8 και τις ζυγίζουμε ( *1η ζύγιση )*,
1. αν έχουν ίσο βάρος τότε προφανώς η κάλπικη είναι μια από τις 9-12.
Παίρνουμε τώρα και ζυγίζουμε *( 2ηζύγιση ) *τις 1-4 ( 4 καλές ) και 8-11 ( 1 καλή και 3 ? ) οι οποίες
1α. αν έχουν ίσο βάρος μας οδηγούν στο συμπέρασμα ότι η 12 είναι η κάλπικη και με μια ακόμα ζύγιση *( 3η ) *αντιλαμβανόμαστε αν είναι πιο βαριά ή πιο ελαφριά από τις κανονικές,
1β. αν 1-4 βαρύτερες από 8-11 καταλαβαίνουμε ότι μια από τις 9-11 είναι η κάλπικη, η οποία είναι και ελαφρύτερη από τις κανονικές οπότε ζυγίζοντας *( 3η ) *9 και 10 καταλαβαίνουμε ποια από τις 3 είναι η κάλπικη,
1γ. αν 1-4 ελαφρύτερες από 8-11 καταλαβαίνουμε ότι μια από τις 9-11 είναι και πάλι η κάλπικη, η οποία αυτή τη φορά είναι βαρύτερη από τις κανονικές οπότε και πάλι ζυγίζοντας *( 3η ) *9 και 10 καταλαβαίνουμε ποια από τις 3 είναι η κάλπικη.
2. αν τώρα 1-4 βαρύτερες από 5-8 τότε προφανώς οι 9-12 είναι καλές.
Παίρνουμε λοιπόν και ζυγίζουμε *( 2η )*τις 1-3 & 5 και 4 & 9-11 ( μια ? και 3 καλές ) όπου
2α. αν έχουν ίσο βάρος ( οι 1-4 είναι καλές ), η κάλπικη είναι μια από τις 6-8 και σίγουρα είναι ελαφρύτερη από τις κανονικές οπότε ζυγίζοντας *( 3η ) *6 και 7 καταλαβαίνουμε ποια είναι η κάλπικη,
2β. αν 1-3 & 5 βαρύτερες από 4 & 9-11 τότε η κάλπικη είναι μια από τις 1-3 και σίγουρα είναι βαρύτερη από τις κανονικές οπότε ζυγίζοντας *( 3η ) *1 και 2 καταλαβαίνουμε και πάλι ποια είναι η κάλπικη,
2γ. αν 1-3 & 5 ελαφρύτερες από 4 & 9-11 τότε κάλπικη είναι σίγουρα μια από τις 4 ή 5, οπότε ζυγίζοντας *( 3η ) *την 4 με την 1 έχουμε δύο πιθανά σενάρια :
Αν 4 ίσου βάρους με την 1 τότε κάλπικη είναι η 5 η οποία είναι και βαρύτερη ενώ αν 4 διαφορετικού βάρους από την 1 τότε η 4 είναι η κάλπικη και από τη σύγκρισή της με την 1 καταλαβαίνουμε αν είναι βαρύτερη ή ελαφρύτερη από τις κανονικές.
3. αν όμως 1-4 ελαφρύτερες από 5-8 τότε προφανώς και πάλι 9-12 καλές και κάνουμε την ίδια διαδικασία με το 2 μόνο που τώρα παίζουμε με τις 1 & 5-7 και 8-11 ( μια ? και 3 καλές ).
Η πρώτη υποπερίπτωση είναι σωστή. Οι άλλες δύο είναι αυθαίρετες διότι δεν γνωρίζεις αν το βαρύτερο ή το ελαφρότερο μέρος της ζυγαριάς περιλαμβάνει την κάλπικη λίρα.
ΔιαγραφήΗ πρώτη υποπερίπτωση είναι σωστή. Οι άλλες δύο είναι αυθαίρετες διότι δεν γνωρίζεις αν το βαρύτερο ή το ελαφρότερο μέρος της ζυγαριάς περιλαμβάνει την κάλπικη λίρα.
ΔιαγραφήA
ΑπάντησηΔιαγραφή1η περίπτωση.ζυγίζω 3 λίρες απο κάθε πλευρά(1ο ζύγισμα)
ΑπάντησηΔιαγραφήαν είναι ίσα σημαίνει οτι η κάλπικη ''κρύβεται'' στις υπόλοιπες 6,
τότε ζυγίζω 4 λίρες ακόμη(2ο ζύγισμα) απο αυτές που ξέρω οτι πιθανόν είναι η κάλπικη,
αν κ πάλι είναι ίσα τότε η κάλπικη είναι μία απο τις δύο που απέμειναν.
ζυγίζω την μία απο αυτές(3ο κ τελευταίο ζύγισμα) με μια σίγουρα γνήσια,
αν είναι ίσες τότε είναι κάλπικη αυτη που δεν μπήκε στο ζύγι,
αν είναι βαρύτερη η ελαφρύτερη τότε είναι αυτή η κάλπικη.
στην 2η περίπτωση,αν δηλαδή στο 1ο μου ζύγισμα βρώ διαφορά βάρους,
εφόσων δεν ξέρω αν είναι βαρύτερη η ελαφρύτερη η κάλπικη,τότε βάζω στην μία πλευρά της ζυγαριάς(2ο ζύγισμα)
3 γνήσιες λίρες
και στην άλλη αφήνω την μία τριάδα που υπάρχει ήδη(ας πούμε την βαρύτερη)
αν εδώ* είναι ίσα οι λίρες τότε η κάλπικη είναι στην 3αδα που κατέβασα και ξέρω ακόμη οτι η κάλπικη είναι ελαφρύτερη,
ζυγίζω λοιπόν μεταξύ τους τις 2 απο τις 3 λίρες που κατέβασα πριν,αν βρώ μία ελαφρότερη αυτή είναι η κάλπικη,
αν είναι ίσες τότε η κάλπικη είναι αυτή που δεν ζυγίστηκε.
*αν πάλι σε αυτό το σημείο υπάρχει διαφορά βάρους(ας πούμε πάλι βαρύτερη την κάλπικη,το ίδιο με αντίστοιχο τρόπο
θα ισχύσει για το ελαφρύτερη)
τότε κατεβάζω την γνήσια τριάδα και μένουν στην ζυγαριά,
απο την μία πλευρά οι 3 λίρες που περιέχουν την κάλπικη,
ζυγίζω πάλι 2 λίρες(3ο ζύγισμα),είναι ίσες?τότε κάλπικη αυτή που κατέβασα,είναι η μία βαρύτερη?τότε είναι η κάλπικη.
ζυγιζεις 3 και 3 και βγαινουν ισες. ζυγιζεις μετα 2 και 2 και βγαινουν ανισες. τι κανεις? ξερεις οτι ειναι μεταξυ τεσσαρων η καλπικη και δεν ξερεις αν ειναι ελαφρυτερη ή βαρυτερη. και εχεις ενα ζυγισμα! δεν ισχυει αυτη η απαντηση..
ΑπάντησηΔιαγραφή